La loi normale en quelques mots ...
Définition
La loi normale est la loi de probabilité la plus connue et la plus utilisée en statistique. On peut également retrouver cette loi sous le nom de loi de Gauss ou Laplace-Gauss, du nom de ses inventeurs.
Sa célébrité s’explique principalement par 3 choses :
- elle peut s’appliquer à un très grand nombre de situations
- lorsque les données sont distribuées selon une loi normale, de nombreuses méthodes statistiques peuvent être utilisées.
- elle intervient dans le théorème central-limite, un des théorèmes les plus important en statistique (voir ci-après).
Fonction de densité
La fonction de densité f est totalement déterminée par 2 paramètres μ son espérance et σ son écart-type :
Lorsqu’une variable aléatoire X est distribuée selon une loi normale, on note :
Représentation
La loi normale se représente par une courbe en forme de cloche. Sa fonction de densité est continue et symétrique par rapport à sa moyenne.
Quelques propriétés
Additive. Si X1 et X2 sont 2 variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi normale alors leur somme suit également une loi normale dont la moyenne est la somme des moyennes et la variance la somme des variances.
Linéarisation. Si une variable X suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type s alors la variable Y = aX + b est distribuée selon une loi normale de moyenne am+b et d’écart-type as.
TCL. Le théorème central-limite est un des théorèmes clé de la statistique. Ce théorème montre que la distribution des moyennes de n échantillons indépendants converge vers une distribution Gaussienne (pour n assez grand).
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